向量微积分

知识点学习
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基础定义

  1. 梯度（Gradient）
    对于标量函数 ϕ(x,y,z)\phi(x,y,z)：

    ∇ϕ=(∂ϕ∂x,∂ϕ∂y,∂ϕ∂z)\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)

  2. 散度（Divergence）
    对于向量场 F=(Fx,Fy,Fz)\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)：

    ∇⋅F=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

  3. 旋度（Curl）
    对于向量场 F=(Fx,Fy,Fz)\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)：

    ∇×F=(∂Fz∂y−∂Fy∂z,∂Fx∂z−∂Fz∂x,∂Fy∂x−∂Fx∂y)\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)

混合运算法则

  1. 梯度的散度
    对于标量函数 ϕ\phi：

    ∇⋅(∇ϕ)=∇2ϕ\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla^2 \phi

    这里，∇2ϕ\nabla^2 \phi 是 ϕ\phi 的拉普拉斯算子（Laplacian），表示为：

    ∇2ϕ=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}

  2. 梯度的旋度
    对于标量函数 ϕ\phi：

    ∇×(∇ϕ)=0\nabla \times (\nabla \phi) = 0

  3. 散度的旋度
    对于向量场 F\mathbf{F}：

    ∇⋅(∇×F)=0\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0

  4. 旋度的散度
    对于向量场 F\mathbf{F}：此操作没有定义。

    ∇×(∇⋅F) 没有定义\nabla \times (\nabla \cdot \mathbf{F}) \text{ 没有定义}

  5. 梯度的乘积
    对于标量函数 ϕ\phi 和向量场 A\mathbf{A}：

    ∇(ϕA)=(∇ϕ)A+ϕ(∇A)\nabla (\phi \mathbf{A}) = (\nabla \phi) \mathbf{A} + \phi (\nabla \mathbf{A})

  6. 梯度的叉乘
    对于标量函数 ϕ\phi 和向量场 A\mathbf{A}：

    ∇×(ϕA)=(∇ϕ)×A+ϕ(∇×A)\nabla \times (\phi \mathbf{A}) = (\nabla \phi) \times \mathbf{A} + \phi (\nabla \times \mathbf{A})

  7. 散度的乘积
    对于标量函数 ϕ\phi 和向量场 A\mathbf{A}：

    ∇⋅(ϕA)=ϕ(∇⋅A)+∇ϕ⋅A\nabla \cdot (\phi \mathbf{A}) = \phi (\nabla \cdot \mathbf{A}) + \nabla \phi \cdot \mathbf{A}

  8. 散度的叉乘
    对于向量场 A\mathbf{A} 和 B\mathbf{B}：

    ∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})

  9. 旋度的叉乘
    对于向量场 A\mathbf{A} 和 B\mathbf{B}：

    ∇×(A×B)=A(∇⋅B)−B(∇⋅A)+(B⋅∇)A−(A⋅∇)B\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}

  10. 点乘后的梯度
    对于向量场 F\mathbf{F} 和 G\mathbf{G}：

    ∇(F⋅G)=(F⋅∇)G+(G⋅∇)F+F×(∇×G)+G×(∇×F)\nabla (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}) = (\mathbf{F} \cdot \nabla) \mathbf{G} + (\mathbf{G} \cdot \nabla) \mathbf{F} + \mathbf{F} \times (\nabla \times \mathbf{G}) + \mathbf{G} \times (\nabla \times \mathbf{F})

补充内容

  1. 拉普拉斯算子在向量场中的应用

    • 对于向量场 A=(Ax,Ay,Az)\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)，拉普拉斯算子应用于它的每个分量：

    ∇2A=(∇2Ax,∇2Ay,∇2Az)\nabla^2 \mathbf{A} = \left( \nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z \right)

  2. 向量拉普拉斯方程

    • 对于向量场 A\mathbf{A}，向量拉普拉斯方程表达为：

    ∇2A=∇(∇⋅A)−∇×(∇×A)\nabla^2 \mathbf{A} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})

  3. 标量叠加与向量叠加

    • 对于标量场 ϕ\phi 和 ψ\psi 的梯度：

    ∇(ϕ+ψ)=∇ϕ+∇ψ\nabla (\phi + \psi) = \nabla \phi + \nabla \psi

    • 对于向量场 A\mathbf{A} 和 B\mathbf{B} 的散度和旋度：

    ∇⋅(A+B)=∇⋅A+∇⋅B\nabla \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B}

    ∇×(A+B)=∇×A+∇×B\nabla \times (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B}

  4. 向量场的标量乘积（标量场与向量场）

    • 对于标量场 ϕ\phi 和向量场 A\mathbf{A} 的乘积 ϕA\phi \mathbf{A}：

    ∇(ϕA)=ϕ(∇A)+(∇ϕ)A\nabla (\phi \mathbf{A}) = \phi (\nabla \mathbf{A}) + (\nabla \phi) \mathbf{A}

  5. 广义斯托克斯定理

    • 斯托克斯定理将线积分和曲面积分联系起来，广义形式是：

    ∫∂SA⋅dr=∫S(∇×A)⋅dS\int_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \int_{S} (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S}

  6. 高斯散度定理

    • 高斯定理（散度定理）将体积分和表面积分联系起来：

    ∫V(∇⋅A) dV=∮∂VA⋅dS\int_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) \, dV = \oint_{\partial V} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}

  7. 亥姆霍兹分解定理

    • 任何足够光滑且适当下降的向量场都可以唯一分解为无旋场和无散场的和：

    A=−∇ϕ+∇×B\mathbf{A} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{B}

    这里，ϕ\phi 是一个标量势，B\mathbf{B} 是一个向量势。

  8. 算符的组合性质

    • 组合两个微分算符时的一些具体性质：

    ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}

  9. 常数向量的旋度

    • 对于常数向量 az\mathbf{a}_z：

    ∇×az=0\nabla \times \mathbf{a}_z = 0

    因为 az\mathbf{a}_z 是常数向量，故其旋度为零。

归纳总结

  • 梯度运算将标量场变成向量场。
  • 散度运算将向量场变成标量场。
  • 旋度运算将向量场变成另一个向量场。

以下是各混合运算的结果类型：

  • ∇ϕ\nabla \phi: 标量场的梯度给出一个向量场。
  • ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}: 向量场的散度给出一个标量场。
  • ∇×F\nabla \times \mathbf{F}: 向量场的旋度给出一个新的向量场。
  • ∇⋅(∇ϕ)\nabla \cdot (\nabla \phi): 标量场的梯度的散度给出该标量场的拉普拉斯算子。
  • ∇×(∇ϕ)\nabla \times (\nabla \phi): 标量场的梯度的旋度为零向量。
  • ∇⋅(∇×F)\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}): 向量场的旋度的散度等于零。
  • ∇×(ϕA)\nabla \times (\phi \mathbf{A}): 标量场与向量场乘积的旋度为 (∇ϕ)×A+ϕ(∇×A)(\nabla \phi) \times \mathbf{A} + \phi (\nabla \times \mathbf{A})。
  • ∇⋅(ϕA)\nabla \cdot (\phi \mathbf{A}): 标量场与向量场乘积的散度为 ϕ(∇⋅A)+∇ϕ⋅A\phi (\nabla \cdot \mathbf{A}) + \nabla \phi \cdot \mathbf{A}。
  • ∇⋅(A×B)\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}): 向量场叉乘的散度为 B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})。
  • ∇×(A×B)\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}): 向量场叉乘的旋度为 A(∇⋅B)−B(∇⋅A)+(B⋅∇)A−(A⋅∇)B\mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}。
  • ∇(F⋅G)\nabla (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}): 点乘后的梯度关系为 (F⋅∇)G+(G⋅∇)F+F×(∇×G)+G×(∇×F)(\mathbf{F} \cdot \nabla) \mathbf{G} + (\mathbf{G} \cdot \nabla) \mathbf{F} + \mathbf{F} \times (\nabla \times \mathbf{G}) + \mathbf{G} \times (\nabla \times \mathbf{F})。

这些运算是向量微积分中的核心，在电磁学、流体力学和各种物理场分析中有广泛的应用。理解和掌握这些公式对解决复杂的向量场问题非常有帮助。